Задача 2.2. Проверка коллинеарности и ортогональности. Даны векторы u = (x; −4; 6) и v = (−2; y; −3). а) При каких x и y векторы коллинеарны? б) Если x = 1, при каком значении y векторы перпендикулярны?

а) Для коллинеарных векторов существует число \(k\), такое что \(\vec u=k\vec v\). Из третьих координат получаем \(6=-3k\), значит, \(k=-2\). Тогда по первым координатам \(x=-2\cdot(-2)=4\), а по вторым \(-4=-2y\), откуда \(y=2\).

б) Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение. При \(x=1\):

\((1;-4;6)\cdot(-2;y;-3)=-2-4y-18=0\).

\(-4y=20\), поэтому \(y=-5\).

Ответ: а) \(x=4,\ y=2\); б) \(y=-5\).