Задача 2. Дан треугольник ABC, длины сторон которого равны a, b, c. Доказать, что медиана, проведённая к стороне BC, вычисляется по формуле \(m_a^2=\frac14(2c^2+2b^2-a^2)\).

Пусть \(D\) — середина \(BC\), а \(AD=m_a\) — медиана. Продлим \(AD\) за точку \(D\) до точки \(E\) так, чтобы \(DE=AD\).

В четырёхугольнике \(ABEC\) диагонали \(AE\) и \(BC\) пересекаются в точке \(D\) и делятся ею пополам. Значит, \(ABEC\) — параллелограмм. Его стороны имеют длины \(AB=CE=c\) и \(AC=BE=b\), а диагонали — \(AE=2m_a\) и \(BC=a\).

По теореме параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

\[(2m_a)^2+a^2=2b^2+2c^2.\]

Переносим \(a^2\) и делим равенство на 4:

\[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac14(2c^2+2b^2-a^2).\]

Что и требовалось доказать.