Задача 2. Дано: ABCD — ромб, ∠A = 60°, P = 18√3 см. Найти: AC.

Найдём сторону ромба: \(AB=\frac{P}{4}=\frac{18\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\) см.

Диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, поэтому \(\angle BAC=30°\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=BC\), а углы при основании равны: \(\angle ACB=30°\). Следовательно, \(\angle ABC=120°\), и по теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos120°=2AB^2+AB^2=3AB^2\).

Значит, \(AC=AB\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{27}{2}\) см.

Ответ: \(AC=\frac{27}{2}\) см.