Задача 2. Дано: m = 10 кг, V₀ = 800 м/с, k = 0.25. Найти: T - ?, H = ?. Решение: F = Fe + P m.a = KV + mg m\(\frac{dV}{dt}\) = KV + mg \(\frac{dV}{KV + mg}\) = \(\frac{dt}{m}\) \(\int\)_{V_0}^{V} \(\frac{dV}{KV+mg}\) = \(\int\)_{0}^{T} \(\frac{dt}{m}\) \(\frac{1}{K}\) \(\ln\)|KV+mg| \(\Big\)|_{V_0}^{V} = \(\frac{T}{m}\) \(\frac{1}{K}\) \(\ln|KV+mg| - \ln|KV_0+mg|\) = \(\frac{T}{m}\) T = \(\frac{m}{K}\) \(\ln\)\(\left\)|\(\frac{KV+mg}{KV_0+mg}\)\(\right\)| Для нахождения H: H = \(\int\)_{0}^{T} V dt Или, используя кинематическое уравнение: m a = KV + mg a = \(\frac{KV+mg}{m}\) \(\frac{dV}{dt}\) = \(\frac{KV+mg}{m}\) Из формулы для T, если V=0 (конечная скорость): T = \(\frac{m}{K}\) \(\ln\)\(\left\)|\(\frac{mg}{KV_0+mg}\)\(\right\)| Из формулы для H: H = \(\frac{m}{K}\) \(\left\)(V_0 - \(\frac{m}{K}\) \(\left\)\(1 - \frac{KV+mg}{KV_0+mg} \right\)\(\right\)) ? Упростим формулу для T: \( T = \frac{m}{K} \ln\left( \frac{KV+mg}{KV_0+mg} \right) \) Найдем H: \( H = \frac{m}{K} (V_0 - \frac{m}{K} \ln \left| \frac{KV-mg}{KV_0-mg} \right| ) ? \) На фото указано: "нет решения ?"

Question

Задача 2. Дано: m = 10 кг, V₀ = 800 м/с, k = 0.25. Найти: T - ?, H = ?. Решение: F = Fe + P m.a = KV + mg m\(\frac{dV}{dt}\) = KV + mg \(\frac{dV}{KV + mg}\) = \(\frac{dt}{m}\) \(\int\)_{V_0}^{V} \(\frac{dV}{KV+mg}\) = \(\int\)_{0}^{T} \(\frac{dt}{m}\) \(\frac{1}{K}\) \(\ln\)|KV+mg| \(\Big\)|_{V_0}^{V} = \(\frac{T}{m}\) \(\frac{1}{K}\) \(\ln|KV+mg| - \ln|KV_0+mg|\) = \(\frac{T}{m}\) T = \(\frac{m}{K}\) \(\ln\)\(\left\)|\(\frac{KV+mg}{KV_0+mg}\)\(\right\)| Для нахождения H: H = \(\int\)_{0}^{T} V dt Или, используя кинематическое уравнение: m a = KV + mg a = \(\frac{KV+mg}{m}\) \(\frac{dV}{dt}\) = \(\frac{KV+mg}{m}\) Из формулы для T, если V=0 (конечная скорость): T = \(\frac{m}{K}\) \(\ln\)\(\left\)|\(\frac{mg}{KV_0+mg}\)\(\right\)| Из формулы для H: H = \(\frac{m}{K}\) \(\left\)(V_0 - \(\frac{m}{K}\) \(\left\)\(1 - \frac{KV+mg}{KV_0+mg} \right\)\(\right\)) ? Упростим формулу для T: \( T = \frac{m}{K} \ln\left( \frac{KV+mg}{KV_0+mg} \right) \) Найдем H: \( H = \frac{m}{K} (V_0 - \frac{m}{K} \ln \left| \frac{KV-mg}{KV_0-mg} \right| ) ? \) На фото указано: "нет решения ?"

Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Исходя из представленных на фото расчетов, мы имеем следующую задачу:

Дано:

Масса \( m = 10 \text{ кг} \)
Начальная скорость \( V_0 = 800 \text{ м/с} \)
Коэффициент \( k = 0.25 \)

Найти:

Время \( T \)
Высоту \( H \)

Уравнения движения:

Сила сопротивления \( F = k V \) (предполагается, что \( F \) пропорциональна скорости). Сила тяжести \( P = m g \).

Второй закон Ньютона: \( m \vec{a} = \vec{F}_{res} \).

Если движение направлено вверх, то силы направлены вниз:

\( m \frac{dV}{dt} = -kV - mg \)

\( m \frac{dV}{dt} = -(kV + mg) \)

\( \frac{dV}{kV + mg} = -\frac{dt}{m} \)

Интегрируем обе части:

\( \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{kV + mg} = -\int_{0}^{T} \frac{dt}{m} \)

\( \frac{1}{k} \ln|kV + mg| \Big|_{V_0}^{V} = -\frac{T}{m} \)

\( \frac{1}{k} (\ln|kV + mg| - \ln|kV_0 + mg|) = -\frac{T}{m} \)

\( T = -\frac{m}{k} \ln\left|\frac{kV + mg}{kV_0 + mg}\right| = \frac{m}{k} \ln\left|\frac{kV_0 + mg}{kV + mg}\right| \)

Если рассматривать движение вниз, где \( F = kV \) и \( P = mg \), и скорость направлена вниз, то:

\( m \frac{dV}{dt} = mg - kV \)

\( \frac{dV}{mg - kV} = \frac{dt}{m} \)

Интегрируем:

\( \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{mg - kV} = \int_{0}^{T} \frac{dt}{m} \)

\( -\frac{1}{k} \ln|mg - kV| \Big|_{V_0}^{V} = \frac{T}{m} \)

\( -\frac{1}{k} (\ln|mg - kV| - \ln|mg - kV_0|) = \frac{T}{m} \)

\( T = -\frac{m}{k} \ln\left|\frac{mg - kV}{mg - kV_0}\right| = \frac{m}{k} \ln\left|\frac{mg - kV_0}{mg - kV}\right| \)

Для нахождения высоты \( H \):

\( H = \int_{0}^{T} V dt \). Это требует подстановки \( V(t) \) из первого уравнения. Вместо этого можно использовать кинематическое уравнение \( a = V \frac{dV}{dH} \).

\( m \frac{dV}{dt} = mg - kV \)

\( V \frac{dV}{dH} = \frac{mg - kV}{m} \)

\( \frac{V dV}{mg - kV} = \frac{dH}{m} \)

\( \int_{V_0}^{V} \frac{V dV}{mg - kV} = \int_{0}^{H} \frac{dH}{m} \)

Интеграл \( \int \frac{V dV}{mg - kV} \) решается методом подстановки или выделением целой части. Пусть \( u = mg - kV \), тогда \( V = \frac{mg-u}{k} \) и \( dV = -\frac{1}{k} du \).

\( \int \frac{\frac{mg-u}{k}}{u} (-\frac{1}{k} du) = -\frac{1}{k^2} \int \frac{mg-u}{u} du = -\frac{1}{k^2} \int (\frac{mg}{u} - 1) du = -\frac{1}{k^2} (mg \ln|u| - u) \)

Подставляем обратно \( u = mg - kV \):

\( -\frac{1}{k^2} (mg \ln|mg - kV| - (mg - kV)) \)

\( H = m \left[ -\frac{1}{k^2} (mg \ln|mg - kV| - mg + kV) \right]_{V_0}^{V} \)

\( H = -\frac{m}{k^2} [mg \ln|mg - kV| - mg + kV]_{V_0}^{V} \)

\( H = -\frac{m}{k^2} [ (mg \ln|mg - kV| - mg + kV) - (mg \ln|mg - kV_0| - mg + kV_0) ] \)

\( H = -\frac{m}{k^2} [ mg (\ln|mg - kV| - \ln|mg - kV_0|) + k(V - V_0) ] \)

\( H = -\frac{m}{k^2} [ mg \ln\left|\frac{mg - kV}{mg - kV_0}\right| + k(V - V_0) ] \)

Анализ записи на фото:

На фото есть запись \( H = \frac{m}{k} (V_0 - \frac{m}{k} g \frac{V}{g}) ? \). Эта формула не соответствует стандартным выводам и, вероятно, является неверной или частью другого подхода.

Также на фото есть надпись "нет решения ?", что может указывать на то, что данная задача в таком виде либо не имеет аналитического решения, либо требует дополнительных условий или интерпретаций.

Ответ: Формулы для времени \( T \) и высоты \( H \) выведены в решении. Аналитический вид \( H \) достаточно сложен. Надпись "нет решения ?" на фото указывает на возможные трудности или некорректность постановки задачи.