Задача 2. Две точки движутся вдоль оси Ox. Заданы зависимости их координат от времени: x₁(t) = 20 + 2t − 4t², x₂(t) = 2 + 2t + 0,5t². Определите момент tᵥ и координату xᵥ встречи точек. Чему равны значения скоростей v₁ и v₂, а также ускорений a₁ и a₂ точек в этот момент? Каковы перемещения тел s₁ и s₂? В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы?

Условие встречи: координаты точек равны.

\(20+2t-4t^2=2+2t+0.5t^2\), поэтому \(18=4.5t^2\), откуда \(t=\pm2\) с. Для физического времени \(t\geq0\) берём \(t_{в}=2\) с.

Координата встречи: \(x_{в}=20+2\cdot2-4\cdot2^2=8\) м.

Скорость — производная координаты по времени: \(v_1=2-8t\), \(v_2=2+t\). При \(t=2\) с получаем \(v_1=-14\) м/с и \(v_2=4\) м/с.

Ускорение — производная скорости: \(a_1=-8\) м/с², \(a_2=1\) м/с².

Перемещение от начального положения до встречи: \(s_1=x_{в}-x_1(0)=8-20=-12\) м; \(s_2=x_{в}-x_2(0)=8-2=6\) м.

Если под «одинаковыми скоростями» имеются в виду равные значения скорости с учётом направления, то \(2-8t=2+t\), откуда \(t=0\) с. Если имеются в виду равные модули скоростей (одинаковые быстроты), то \(|2-8t|=|2+t|\): получаются \(t=0\) и \(t=\frac{4}{7}\approx0.57\) с. Это согласуется с двумя моментами, предусмотренными в бланке.

Ответ: \(t_{в}=2\) с; \(x_{в}=8\) м; \(v_1=-14\) м/с; \(v_2=4\) м/с; \(a_1=-8\) м/с²; \(a_2=1\) м/с²; \(s_1=-12\) м; \(s_2=6\) м. Равные модули скоростей: \(t=0\) и \(t=\frac{4}{7}\approx0.57\) с.