Задача 2. Катер прошёл путь от базы отдыха до острова (расстояние — 18 км) и обратно. Он отправился в 9:30, вернулся в 16:30, а на острове провёл 1,5 часа. Скорость течения реки — 3 км/ч. Определите собственную скорость катера.

Краткая запись:

Расстояние в одну сторону — 18 км.
Время в пути: 16:30 − 9:30 − 1,5 ч = 7 − 1,5 = 5,5 ч.
Скорость течения — 3 км/ч.

Пусть собственная скорость катера равна \(x\) км/ч. Тогда скорость по течению равна \(x+3\) км/ч, а скорость против течения — \(x-3\) км/ч.

Составим уравнение:

\[\frac{18}{x+3}+\frac{18}{x-3}=5.5\]

Умножим обе части на \(2(x+3)(x-3)\):

\[36(x-3)+36(x+3)=11(x^2-9)\]

\[72x=11x^2-99\]

\[11x^2-72x-99=0\]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[D=(-72)^2-4\cdot11\cdot(-99)=9540\]

\[x=\frac{72\pm\sqrt{9540}}{22}\]

Отрицательный корень не подходит, поэтому

\[x=\frac{72+\sqrt{9540}}{22}\approx7.71\]

Ответ: собственная скорость катера примерно 7,7 км/ч.