Задача 2. Колесо, радиус которого 40 см, катится по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. Определите скорости относительно дороги точек колеса, находящихся на концах его вертикального и горизонтального диаметров, а также ускорения этих точек.

Решение:

1. Перевод единиц измерения: Радиус колеса $$r = 40$$ см $$= 0.4$$ м. Скорость центра колеса $$v_c = 2$$ м/с.
2. Скорость точки на конце горизонтального диаметра (верхняя точка): Эта точка имеет ту же горизонтальную скорость, что и центр колеса, и дополнительную скорость от вращения, направленную в ту же сторону. Линейная скорость точки от вращения: $$v_ ext{вращ} = ext{ω} imes r$$. Угловая скорость: $$ ext{ω} = rac{v_c}{r} = rac{2 ext{ м/с}}{0.4 ext{ м}} = 5$$ рад/с. Скорость вращения верхней точки: $$v_ ext{вращ} = 5 ext{ рад/с} imes 0.4 ext{ м} = 2$$ м/с. Полная скорость верхней точки: $$v_ ext{верх} = v_c + v_ ext{вращ} = 2 ext{ м/с} + 2 ext{ м/с} = 4$$ м/с.
3. Скорость точки на конце горизонтального диаметра (нижняя точка, точка касания): Эта точка имеет ту же горизонтальную скорость, что и центр колеса, и скорость от вращения, направленную в противоположную сторону. Скорость вращения нижней точки: $$v_ ext{вращ} = ext{ω} imes r = 5 ext{ рад/с} imes 0.4 ext{ м} = 2$$ м/с. Полная скорость нижней точки: $$v_ ext{низ} = v_c - v_ ext{вращ} = 2 ext{ м/с} - 2 ext{ м/с} = 0$$ м/с.
4. Скорость точки на конце вертикального диаметра (верхняя точка): Эта точка имеет горизонтальную скорость $$v_c$$ и вертикальную скорость от вращения. Вертикальная скорость: $$v_{ ext{верт}, ext{верх}} = ext{ω} imes r = 2$$ м/с. Полная скорость: $$v_ ext{верх.точ} = ext{v} rac{v_c}{ ext{v}} + ext{v} rac{v_{ ext{верт}, ext{верх}}}{ ext{v}} = ext{v} 2 + ext{v} 2$$.
5. Скорость точки на конце вертикального диаметра (нижняя точка, точка касания): Эта точка имеет горизонтальную скорость $$v_c$$ и вертикальную скорость от вращения. Вертикальная скорость: $$v_{ ext{верт}, ext{низ}} = - ext{ω} imes r = -2$$ м/с. Полная скорость: $$v_ ext{низ.точ} = ext{v} v_c + ext{v} v_{ ext{верт}, ext{низ}} = ext{v} 2 + ext{v}(-2)$$.
6. Ускорение: Центростремительное ускорение каждой точки от вращения: $$a_ ext{ц} = rac{v_ ext{вращ}^2}{r} = rac{(2 ext{ м/с})^2}{0.4 ext{ м}} = rac{4 ext{ м}^2/ ext{с}^2}{0.4 ext{ м}} = 10$$ м/с².
7. Ускорение верхней точки горизонтального диаметра: Состоит из касательного ускорения (равного 0, так как скорость постоянна) и центростремительного ускорения, направленного к центру. $$a_ ext{верх.гор} = a_ ext{ц} = 10$$ м/с².
8. Ускорение нижней точки горизонтального диаметра: Аналогично, $$a_ ext{низ.гор} = a_ ext{ц} = 10$$ м/с².
9. Ускорение точки на конце вертикального диаметра (верхняя точка): $$a_ ext{верх.верт} = a_ ext{ц} = 10$$ м/с².
10. Ускорение точки на конце вертикального диаметра (нижняя точка): $$a_ ext{низ.верт} = a_ ext{ц} = 10$$ м/с².

Финальный ответ:

• Скорость точки на конце горизонтального диаметра, находящейся выше центра: 4 м/с.
• Скорость точки на конце горизонтального диаметра, находящейся ниже центра (точка касания): 0 м/с.
• Скорость точки на конце вертикального диаметра, находящейся выше центра: $$ ext{v} 2 + ext{v} 2$$.
• Скорость точки на конце вертикального диаметра, находящейся ниже центра: $$ ext{v} 2 + ext{v}(-2)$$.
• Ускорение точек на концах горизонтального диаметра: 10 м/с².
• Ускорение точек на концах вертикального диаметра: 10 м/с².