Задача 2. На гладкой горизонтальной поверхности покоится стержень длины \(l\). К концам стержня прикреплены два шарика, масса первого равна \(m_0\), масса второго \(2m_0\). Масса стержня пренебрежимо мала, его длина значительно больше радиуса шариков. Меньшему шарику точкой сообщают скорость \(\vec V_0\), направленную перпендикулярно стержню. Найдите максимальные скорости шариков во время движения: \(v_{1\max}\) и \(v_{2\max}\).

Рассмотрим систему как абсолютно твёрдое тело, состоящее из двух шариков.

1. Скорость центра масс. Внешних горизонтальных сил нет, поэтому импульс системы сохраняется. В начальный момент импульс равен \(m_0V_0\), а масса системы — \(3m_0\). Поэтому

\[V_{\text{ц.м.}}=\frac{m_0V_0}{3m_0}=\frac{V_0}{3}.\]

2. Угловая скорость вращения. Центр масс находится на расстоянии \(\frac{2l}{3}\) от лёгкого шарика и \(\frac{l}{3}\) от тяжёлого. Момент импульса относительно центра масс в начальный момент:

\[L=m_0V_0\frac{2l}{3}.\]

Момент инерции системы относительно центра масс:

\[I=m_0\left(\frac{2l}{3}\right)^2+2m_0\left(\frac{l}{3}\right)^2=\frac{2m_0l^2}{3}.\]

Следовательно, постоянная угловая скорость равна

\[\omega=\frac{L}{I}=\frac{m_0V_0\frac{2l}{3}}{\frac{2m_0l^2}{3}}=\frac{V_0}{l}.\]

3. Скорости шариков. Скорость каждого шарика является векторной суммой скорости центра масс и скорости вращения вокруг центра масс:

\[v_1=\left|\vec V_{\text{ц.м.}}+\vec\omega\times\vec r_1\right|,\qquad v_2=\left|\vec V_{\text{ц.м.}}+\vec\omega\times\vec r_2\right|.\]

Радиусы вращения шариков:

\[r_1=\frac{2l}{3},\qquad r_2=\frac{l}{3}.\]

Поэтому вращательные составляющие скоростей имеют постоянные модули:

\[u_1=\omega r_1=\frac{V_0}{l}\cdot\frac{2l}{3}=\frac{2V_0}{3},\qquad u_2=\omega r_2=\frac{V_0}{3}.\]

Максимум модуля суммы двух векторов достигается, когда они направлены одинаково:

\[v_{1\max}=V_{\text{ц.м.}}+u_1=\frac{V_0}{3}+\frac{2V_0}{3}=V_0,\]

\[v_{2\max}=V_{\text{ц.м.}}+u_2=\frac{V_0}{3}+\frac{V_0}{3}=\frac{2V_0}{3}.\]

Ответ: \(v_{1\max}=V_0\), \(v_{2\max}=\frac{2V_0}{3}\).