Задача 2. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Пусть ребро куба равно \(a\), а общий конец диагоналей — вершина \(A_1\). Рассмотрим диагонали \(A_1C_1\) верхней грани и \(A_1B\) передней грани, показанные на рисунке.

Выберем координаты: \(A_1=(0,0,a)\), \(C_1=(a,a,a)\), \(B=(a,0,0)\). Тогда векторы диагоналей равны \(\overrightarrow{A_1C_1}=(a,a,0)\) и \(\overrightarrow{A_1B}=(a,0,-a)\).

По формуле скалярного произведения:

\(\overrightarrow{A_1C_1}\cdot\overrightarrow{A_1B}=a^2\), а длина каждого вектора равна \(a\sqrt{2}\). Поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\dfrac12\), откуда \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: 60°.