Задача 2. Отрезок AB не имеет общих точек с плоскостью α. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках A₁ и B₁ соответственно. Вычислите длину отрезка A₁B₁, если AB = 13 см, AA₁ = 12 см и BB₁ = 24 см.

Точки A и B находятся по одну сторону от плоскости α, иначе отрезок AB пересекал бы её. Поэтому расстояние между точками A и B по перпендикуляру к плоскости равно разности расстояний до неё:

BB₁ − AA₁ = 24 − 12 = 12 см.

Отрезок AB, его проекция A₁B₁ на плоскость и разность высот образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

AB² = A₁B₁² + (BB₁ − AA₁)².

A₁B₁² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, поэтому A₁B₁ = 5 см.

Ответ: 5 см.