Задача 2 (параллельность плоскостей). В тетраэдре SABC точки K, L и M — середины рёбер SA, SB и SC соответственно. а) Докажите, что плоскость KLM параллельна плоскости ABC. б) Найдите периметр треугольника KLM, если AB = 12 см, BC = 10 см, AC = 14 см.

а) В треугольнике SAB отрезок KL соединяет середины SA и SB, поэтому по теореме о средней линии KL ∥ AB. В треугольнике SAC отрезок KM соединяет середины SA и SC, поэтому KM ∥ AC. Прямые KL и KM пересекаются в точке K и лежат в плоскости KLM; параллельные им прямые AB и AC пересекаются в точке A и лежат в плоскости ABC. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Значит, \((KLM)\parallel(ABC)\).

б) По теореме о средней линии треугольника:

\(KL=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\) см;

\(LM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\) см;

\(KM=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7\) см.

Тогда периметр \(P_{KLM}=KL+LM+KM=6+5+7=18\) см.

Ответ: а) \((KLM)\parallel(ABC)\); б) 18 см.