Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону BA угла ABC в точках A₁ и A₂ соответственно, а сторону BC — в точках C₁ и C₂ соответственно. Найдите: а) отрезок A₁C₁, если A₂C₂ = 36 см, BA₁ : BA₂ = 5 : 9; б) отрезок C₁C₂, если A₁C₁ = 14 см, A₂C₂ = 21 см, BC₁ = 12 см.

Так как плоскости параллельны, отрезки \(A_1C_1\) и \(A_2C_2\) параллельны. Поэтому треугольники \(BA_1C_1\) и \(BA_2C_2\) подобны, и соответствующие стороны пропорциональны.

а) Из подобия \(\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{BA_1}{BA_2}=\frac{5}{9}\). Тогда \(A_1C_1=36\cdot\frac{5}{9}=20\) см.

б) По подобию \(\frac{BC_1}{BC_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Так как \(BC_1=12\) см, получаем \(BC_2=12\cdot\frac{3}{2}=18\) см. Точка \(C_1\) лежит между \(B\) и \(C_2\), поэтому \(C_1C_2=BC_2-BC_1=18-12=6\) см.

Ответ: а) \(A_1C_1=20\) см; б) \(C_1C_2=6\) см.