Задача 2. Почти как в ЕГЭ Автомат получает на вход четырёхзначное число (его первая цифра не должна быть равна нулю). По этому числу строится новое число по следующим правилам: 1) складываются первая и вторая, вторая и третья, третья и четвёртая цифры исходного числа; 2) полученные три числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей). Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3 + 1 = 4, 1 + 6 = 7, 6 + 5 = 11. Числа 4, 7, 11 записываются друг за другом в порядке убывания, получается 1174. Вам даны пять чисел, которые получил автомат при вводе в него каких-то пяти неизвестных четырёхзначных чисел: 321, 860, 1276, 13123, 171615. Для каждого из этих чисел найдите минимальное целое число, при подаче которого на вход автомату было получено данное число (то есть нужно найти пять чисел, таких, что из первого числа автомат получит число 321, из второго числа – 860, из третьего числа – 1276, из четвёртого числа – 13123, из пятого числа – 171615, причём найденные числа были бы минимально возможными). В ответе нужно записать пять целых чисел в отдельных строках без запятых и других разделителей. Порядок записи чисел в ответе менять нельзя. Если вы не можете найти ответ для какого-то из данных чисел, вместо этого ответа запишите любое четырёхзначное число, например, 1111.

Решение:

Для решения задачи нам нужно найти исходное четырёхзначное число, из которого автомат получит заданное число. Обозначим исходное четырёхзначное число как abcd, где a, b, c, d — его цифры.

По правилам автомата, он вычисляет три суммы:

1. \( s_1 = a + b \)
2. \( s_2 = b + c \)
3. \( s_3 = c + d \)

Затем эти суммы записываются в порядке убывания, чтобы получить новое число.

Нам нужно найти минимальные четырёхзначные числа, для которых результат работы автомата совпадает с данными числами. Будем решать для каждого числа отдельно.

1. Исходное число → 321

Полученное число 321. Значит, \( s_1, s_2, s_3 \) в порядке убывания дают 321. Возможные варианты (суммы должны быть однозначными, поэтому 11, 12, 13 невозможны, если только в исходном числе не было цифр больше 9, что противоречит условию):

• Вариант 1: \( s_1 = 3, s_2 = 2, s_3 = 1 \)

Ищем минимальное четырёхзначное число abcd.

Из \( s_3 = c + d = 1 \), минимальные варианты для \( c \) и \( d \) (с учётом \( c \) не более 9, \( d \) не более 9): \( c=1, d=0 \) или \( c=0, d=1 \). Так как \( a \) не может быть 0, а \( c \) может быть 0, но будем искать минимальное число, начнем с \( c=1, d=0 \).

Из \( s_2 = b + c = 2 \) и \( c=1 \), получаем \( b + 1 = 2 \), следовательно \( b = 1 \).

Из \( s_1 = a + b = 3 \) и \( b=1 \), получаем \( a + 1 = 3 \), следовательно \( a = 2 \).

Получаем число 2110. Проверим: \( 2+1=3, 1+1=2, 1+0=1 \). Суммы: 3, 2, 1. В порядке убывания: 321. Это минимальное число.

2. Исходное число → 860

Полученное число 860. Возможный вариант (если считать, что числа могут быть двузначными, что противоречит примеру, где суммы однозначны. Если суммы однозначны, то 860 не может быть получено. Предполагаем, что в условии опечатка, и число может быть получено даже если суммы двузначные, либо нужно найти исходное число, которое даст 860, если бы суммы записывались без учёта порядка убывания, а просто в порядке вычисления. Если же порядок убывания важен, то 860 не может быть получен из однозначных сумм. Рассмотрим пример: 3+1=4, 1+6=7, 6+5=11. Суммы 4, 7, 11. Записаны в порядке убывания: 1174. Значит, порядок убывания важен. Отсюда следует, что все суммы однозначные. Поэтому 860 не может быть получено. По условию, если не можем найти ответ, пишем любое четырехзначное число. Например, 1111.)

3. Исходное число → 1276

Полученное число 1276. Аналогично предыдущему случаю, если суммы должны быть однозначными, это число не может быть получено. Пишем 1111.

4. Исходное число → 13123

Полученное число 13123. Аналогично, пишем 1111.

5. Исходное число → 171615

Полученное число 171615. Аналогично, пишем 1111.

Переосмысление задачи:

Возможно, в задании имелось в виду, что полученные три числа (суммы) записываются в порядке убывания. И эти суммы могут быть двузначными. Посмотрим на пример: 3165 -> 3+1=4, 1+6=7, 6+5=11. Числа 4, 7, 11. В порядке убывания: 1174. Это согласуется. Теперь попробуем решить заново, учитывая, что суммы могут быть двузначными.

1. Исходное число → 321

Суммы: \( s_1 = a+b, s_2 = b+c, s_3 = c+d \). Число 321. Три суммы в порядке убывания. Как пример, 11, 7, 4. А тут 3, 2, 1. Это три однозначных числа. Мы уже нашли минимальное исходное число: 2110.

2. Исходное число → 860

Суммы: \( s_1, s_2, s_3 \) в порядке убывания дают 860. Возможные тройки сумм, которые при перестановке дают 860: (8, 6, 0), (8, 0, 6), (6, 8, 0), (6, 0, 8), (0, 8, 6), (0, 6, 8). Так как \( s_1=a+b \), \( a \) не 0, то \( s_1 \) не может быть 0. Значит, пары с 0 на первой позиции отбрасываем. Остаются: (8, 6, 0), (8, 0, 6), (6, 8, 0), (6, 0, 8).

Ищем минимальное четырёхзначное число abcd.

Вариант 2.1: \( s_1=8, s_2=6, s_3=0 \). \( c+d=0 \). Это возможно только если \( c=0, d=0 \). \( b+c=6 \) => \( b+0=6 \) => \( b=6 \). \( a+b=8 \) => \( a+6=8 \) => \( a=2 \). Получаем число 2600. Проверка: \( 2+6=8, 6+0=6, 0+0=0 \). Суммы: 8, 6, 0. В порядке убывания: 860. Это минимальное число.

3. Исходное число → 1276

Суммы: \( s_1, s_2, s_3 \) в порядке убывания дают 1276. Возможные варианты, где суммы двузначные:

Вариант 3.1: \( s_1=12, s_2=7, s_3=6 \).

\( c+d=6 \). Минимальные \( c, d \) при \( c+d=6 \) это \( c=0, d=6 \) или \( c=1, d=5 \) ... Или \( c=6, d=0 \). Будем искать минимальное число, начнём с наименьших \( c \).

Если \( c=0 \), то \( d=6 \). \( b+c=7 \) => \( b+0=7 \) => \( b=7 \). \( a+b=12 \) => \( a+7=12 \) => \( a=5 \). Получаем 5706. Проверка: \( 5+7=12, 7+0=7, 0+6=6 \). Суммы 12, 7, 6. В порядке убывания: 1276. Это минимальное число.

4. Исходное число → 13123

Суммы: \( s_1, s_2, s_3 \) в порядке убывания дают 13123.

Вариант 4.1: \( s_1=13, s_2=12, s_3=3 \).

\( c+d=3 \). Минимальные \( c, d \): \( c=0, d=3 \) или \( c=1, d=2 \) или \( c=2, d=1 \) или \( c=3, d=0 \).

Если \( c=0 \), то \( d=3 \). \( b+c=12 \) => \( b+0=12 \) => \( b=12 \). Но \( b \) должна быть цифрой (0-9). Это невозможно. Значит, \( c \) не может быть 0.

Если \( c=1 \), то \( d=2 \). \( b+c=12 \) => \( b+1=12 \) => \( b=11 \). Невозможно.

Если \( c=2 \), то \( d=1 \). \( b+c=12 \) => \( b+2=12 \) => \( b=10 \). Невозможно.

Если \( c=3 \), то \( d=0 \). \( b+c=12 \) => \( b+3=12 \) => \( b=9 \). \( a+b=13 \) => \( a+9=13 \) => \( a=4 \). Получаем 4930. Проверка: \( 4+9=13, 9+3=12, 3+0=3 \). Суммы: 13, 12, 3. В порядке убывания: 13123. Это минимальное число.

5. Исходное число → 171615

Суммы: \( s_1, s_2, s_3 \) в порядке убывания дают 171615.

Вариант 5.1: \( s_1=17, s_2=16, s_3=15 \).

\( c+d=15 \). Минимальные \( c, d \): \( c=6, d=9 \) или \( c=7, d=8 \) или \( c=8, d=7 \) или \( c=9, d=6 \).

Если \( c=6 \), то \( d=9 \). \( b+c=16 \) => \( b+6=16 \) => \( b=10 \). Невозможно.

Если \( c=7 \), то \( d=8 \). \( b+c=16 \) => \( b+7=16 \) => \( b=9 \). \( a+b=17 \) => \( a+9=17 \) => \( a=8 \). Получаем 8978. Проверка: \( 8+9=17, 9+7=16, 7+8=15 \). Суммы: 17, 16, 15. В порядке убывания: 171615. Это минимальное число.

Итоговые минимальные числа:

1. 2110
2. 2600
3. 5706
4. 4930
5. 8978

Ответ: 2110, 2600, 5706, 4930, 8978.