Задача 2 (правильная четырёхугольная пирамида). Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с квадратным основанием ABCD. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AS и середину ребра BC. Определите, какой многоугольник получается в сечении, и найдите его периметр, если сторона основания равна a, а боковое ребро равно b.

Пусть M — середина ребра BC.

1. Плоскость проходит через ребро AS, поэтому содержит точки A и S.
2. Она также проходит через точку M. Следовательно, сечение имеет вершины A, S и M.
3. Сечение — треугольник ASM.
4. Так как M — середина BC, то в квадрате ABCD расстояния можно найти по теореме Пифагора:

\(AM=\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}\).

В правильной пирамиде проекция вершины S падает в центр O квадрата. Высота пирамиды:

\(SO=\sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}\).

Расстояние от O до прямой AM равно \(\frac{a}{2\sqrt5}\). Поэтому высота треугольника ASM, проведённая из S к AM, равна:

\(h=\sqrt{SO^2+\left(\frac{a}{2\sqrt5}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{9a^2}{20}}\).

Тогда площадь сечения:

\[S_{\triangle ASM}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}{2}\cdot\sqrt{b^2-\frac{9a^2}{20}}=\frac{a\sqrt5}{4}\sqrt{b^2-\frac{9a^2}{20}}.\]

Для периметра найдём третью сторону. В треугольнике SBC медиана SM к основанию BC одновременно является высотой:

\(SM=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\).

Ответ: сечение — треугольник ASM; его периметр \(P=b+\frac{a\sqrt5}{2}+\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\).