Задача 2. Правильная треугольная пирамида с ребром основания a = 8 см и высотой h_пир = 12 см, в которую вписан шар с радиусом r = 3 см. Найти объём комбинированной фигуры (пирамида с вырезанным шаром).

Вычислим объём пирамиды по указанным размерам. Площадь равностороннего основания: \(S_{осн}=\frac{a^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3\) см². Тогда \(V_{пир}=\frac13S_{осн}h_{пир}=64\sqrt3\) см³.

Объём шара радиусом 3 см: \(V_{ш}=\frac43\pi r^3=36\pi\) см³.

Формальное вычитание даёт \(V_{пир}-V_{ш}=64\sqrt3-36\pi\approx-2.25\) см³. Отрицательный результат показывает, что данные условия геометрически несовместимы: шар такого радиуса не может быть вписан в эту пирамиду.

Действительно, радиус вписанного в заданную правильную треугольную пирамиду шара равен \(\frac{3V_{пир}}{S_{полн}}=\frac{4(2\sqrt7-1)}{9}\approx1.91\) см, а не 3 см. Поэтому объём фигуры с шаром, действительно вписанным в эту пирамиду, можно найти только после уточнения радиуса или размеров пирамиды.

Ответ: по данным условия фигура невозможна; для шара радиусом 3 см формальная разность объёмов отрицательна, \(64\sqrt3-36\pi\approx-2.25\) см³.