Задача 2. При 10% выборочном обследовании качества продукции получено: 1 сорт — 150 единиц; 2 сорт — 50 единиц; брак — 20 единиц. Определить с вероятностью 0,997 пределы доли продукции 1 сорта в генеральной совокупности.

Объём выборки: \(n=150+50+20=220\). Доля продукции 1 сорта в выборке: \(\hat{p}=150/220\approx0.6818\), а доля остальных изделий \(\hat{q}=1-\hat{p}\approx0.3182\).

Для вероятности 0,997 используем приближение \(\hat{p}\pm3\sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}\). Стандартная ошибка равна \(\sqrt{0.6818\cdot0.3182/220}\approx0.0314\). Погрешность: \(3\cdot0.0314\approx0.0942\).

Следовательно, пределы доли продукции 1 сорта: \(0.6818-0.0942\approx0.5876\) и \(0.6818+0.0942\approx0.7760\).

Ответ: с вероятностью 0,997 доля продукции 1 сорта в генеральной совокупности находится примерно в пределах 58,8–77,6%.