Задача 2. Проволоку длиной 102 дм нужно разрезать на части длиной 15 дм и 12 дм, чтобы не было обрезков. Как это сделать? Сколько решений имеет задача?

Дано:

• Длина проволоки: 102 дм.
• Длины частей: 15 дм и 12 дм.
• Условие: без обрезков.

Найти:

• Способы разрезания.
• Количество решений.

Решение:

Обозначим количество частей длиной 15 дм как $$x$$, а количество частей длиной 12 дм как $$y$$.

Составим уравнение:

\[ 15x + 12y = 102 \]

Нужно найти неотрицательные целые решения этого уравнения.

Разделим всё уравнение на 3, чтобы упростить:

\[ 5x + 4y = 34 \]

Теперь будем подбирать целые неотрицательные значения для $$x$$ и $$y$$.

1. При $$x = 0$$:
   $$5(0) + 4y = 34 ightarrow 4y = 34 ightarrow y = 34/4 = 8.5$$. Не целое число, значит, $$x=0$$ не подходит.
2. При $$x = 1$$:
   $$5(1) + 4y = 34 ightarrow 5 + 4y = 34 ightarrow 4y = 29 ightarrow y = 29/4$$. Не целое число.
3. При $$x = 2$$:
   $$5(2) + 4y = 34 ightarrow 10 + 4y = 34 ightarrow 4y = 24 ightarrow y = 6$$. Это целое число! Значит, одно решение: 2 части по 15 дм и 6 частей по 12 дм.
4. При $$x = 3$$:
   $$5(3) + 4y = 34 ightarrow 15 + 4y = 34 ightarrow 4y = 19 ightarrow y = 19/4$$. Не целое число.
5. При $$x = 4$$:
   $$5(4) + 4y = 34 ightarrow 20 + 4y = 34 ightarrow 4y = 14 ightarrow y = 14/4$$. Не целое число.
6. При $$x = 5$$:
   $$5(5) + 4y = 34 ightarrow 25 + 4y = 34 ightarrow 4y = 9 ightarrow y = 9/4$$. Не целое число.
7. При $$x = 6$$:
   $$5(6) + 4y = 34 ightarrow 30 + 4y = 34 ightarrow 4y = 4 ightarrow y = 1$$. Это целое число! Значит, второе решение: 6 частей по 15 дм и 1 часть по 12 дм.
8. При $$x = 7$$:
   $$5(7) + 4y = 34 ightarrow 35 + 4y = 34 ightarrow 4y = -1$$. $$y$$ не может быть отрицательным.

Дальнейшее увеличение $$x$$ приведет к отрицательным значениям $$y$$, так как $$5x$$ будет больше 34.

Способы разрезания:

• Сделать 2 разреза по 15 дм и 6 разрезов по 12 дм. (Общая длина: $$2 imes 15 + 6 imes 12 = 30 + 72 = 102$$ дм).
• Сделать 6 разрезов по 15 дм и 1 разрез по 12 дм. (Общая длина: $$6 imes 15 + 1 imes 12 = 90 + 12 = 102$$ дм).

Ответ: Задача имеет 2 решения.