Задача 2. Пусть K — середина стороны BC треугольника ABC. На лучах AB и AC взяты точки X и Y соответственно таким образом, что AX = AY и точка K лежит на отрезке XY. Докажите, что BX = CY.

Обозначим AB = m, AC = n, а AX = AY = t. Пусть единичные векторы вдоль лучей AB и AC равны u и v. Тогда B = A + mu, C = A + nv, X = A + tu, Y = A + tv.

Так как K — середина BC, то K = A + (mu + nv)/2. Поскольку K лежит на отрезке XY, существует число s от 0 до 1, для которого K = (1 − s)X + sY = A + t((1 − s)u + sv).

Если лучи AB и AC не совпадают, векторы u и v линейно независимы. Сравнивая коэффициенты при них, получаем m/2 = t(1 − s) и n/2 = ts. Складывая равенства, находим t = (m + n)/2.

Но условие X на луче AB означает BX = |m − t|, а CY = |n − t|. Подстановка даёт BX = |m − n|/2 = CY.

Если лучи AB и AC совпадают, точки A, B, C коллинеарны, и K лежит между B и C. Условие K ∈ XY вместе с AX = AY также приводит к тому, что расстояния от B до X и от C до Y равны.

Ответ: BX = CY.