Задача 2*. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. На каком расстоянии от центра Земли тело притягивается к Земле и Луне с одинаковой силой?

Пусть \(x\) — расстояние от центра Земли до тела, а \(R\) — земной радиус. Тогда расстояние от тела до центра Луны равно \(60R-x\), масса Луны \(M_З/81\).

Приравняем силы тяготения:

\[G\frac{M_Зm}{x^2}=G\frac{(M_З/81)m}{(60R-x)^2}.\]

Сократим одинаковые множители и извлечём квадратный корень, учитывая, что тело находится между Землёй и Луной:

\[\frac{1}{x}=\frac{1}{9(60R-x)},\qquad x=9(60R-x).\]

Решим уравнение:

\[x=540R-9x,\qquad 10x=540R,\qquad x=54R.\]

Ответ: тело находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.