Задача 2. Треугольник ACB — равнобедренный с основанием AB, D и E — середины боковых сторон. Найдите периметр треугольника DFE, если AE = 15 м, AB = 16 м.

Поскольку треугольник ACB равнобедренный с основанием AB, его боковые стороны AC и CB равны. Точки D и E — их середины, поэтому \(CD=DA=CE=EB=15\) м и \(AC=CB=30\) м.

По рисунку F — точка пересечения отрезков AE и DB. Рассмотрим треугольник ACB: D — середина AC, а E — середина CB, значит DE — средняя линия:

\(DE=\dfrac{AB}{2}=8\) м.

В треугольнике AEB точка F лежит на AE, а отрезок DF параллелен AB (так как D и E — середины боковых сторон; следовательно, DE параллелен AB — здесь, однако, на рисунке F лежит на AE и DB, поэтому используем координаты/подобие).

Зададим координаты: \(A=(0,h)\), \(B=(16,0)\), \(C=(0,0)\) было бы несовместимо с равными боковыми сторонами; удобнее отметить, что AE и BD — медианы равнобедренного треугольника. Их пересечение F — центр тяжести, который делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.

Следовательно, в треугольнике DFE стороны равны трети соответствующих медиан: \(DF=\frac13 DB\), \(FE=\frac13 AE\), а \(DE\) — средняя линия длиной 8 м. Для медианы \(DB\) имеем по теореме Аполлония: \(DB^2=2(BC^2+AB^2/4)-AC^2=2(900+64)-900=1028\), значит \(DB=2\sqrt{257}\) м. Тогда \(DF=\frac{2\sqrt{257}}3\) м, \(FE=5\) м.

Периметр:

\(P_{DFE}=DE+DF+FE=8+5+\frac{2\sqrt{257}}3=13+\frac{2\sqrt{257}}3\) м.

Ответ: \(13+\frac{2\sqrt{257}}3\) м.