Задача 2. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы электрического тока в катушке индуктивности I_m = 5 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе U_m = 2 В. В момент времени t сила тока в катушке i = 3 мА. Найдите напряжение на конденсаторе в этот момент.

Решение:

В идеальном колебательном контуре энергия сохраняется. Энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки переходят друг в друга. Максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки:

\( W_{C,max} = W_{L,max} \)

\( \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 \)

Это соотношение также означает, что:

\( U_m = I_m \cdot \sqrt{\frac{L}{C}} \) и \( I_m = U_m \cdot \sqrt{\frac{C}{L}} \)

Следовательно, отношение максимального напряжения к максимальному току равно:

\( \frac{U_m}{I_m} = \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{C}}} = \sqrt{\frac{C}{L}} \)

Полная энергия колебательного контура равна:

\( W = W_C + W_L = \frac{1}{2} C u^2 + \frac{1}{2} L i^2 \)

Максимальная энергия контура равна максимальной энергии конденсатора (когда ток равен нулю) или максимальной энергии катушки (когда напряжение равно нулю):

\( W_{max} = \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 \)

Приравниваем выражения для полной энергии:

\( \frac{1}{2} C u^2 + \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} C U_m^2 \)

Разделим обе части на \( \frac{1}{2} C \):

\( u^2 + \frac{L}{C} i^2 = U_m^2 \)

Так как \( \frac{L}{C} = \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2 \), то:

\( u^2 + \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2 i^2 = U_m^2 \)

Выразим \( u \):

\( u^2 = U_m^2 - \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2 i^2 \)

\( u = \sqrt{U_m^2 - \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2 i^2} = U_m \sqrt{1 - \left(\frac{i}{I_m}\right)^2} \)

Подставим значения:

\( I_m = 5 \) мА \( = 5 \times 10^{-3} \) А

\( U_m = 2 \) В

\( i = 3 \) мА \( = 3 \times 10^{-3} \) А

\( u = 2 \text{ В} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{3 \times 10^{-3} \text{ А}}{5 \times 10^{-3} \text{ А}}\right)^2} = 2 \text{ В} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = 2 \text{ В} \cdot \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = 2 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{16}{25}} = 2 \text{ В} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5} \text{ В} = 1.6 \text{ В} \)

Ответ: напряжение на конденсаторе равно 1.6 В.