Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества, если взять 1000 деталей?

Обозначим через X число деталей отличного качества среди 1000 деталей. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 1000 и p = 0.8.

1. Математическое ожидание: \(M(X)=np=1000\cdot0.8=800\).
2. Дисперсия: \(D(X)=npq=1000\cdot0.8\cdot0.2=160\).
3. По неравенству Чебышёва выберем такое \(a\), чтобы \(\frac{D(X)}{a^2}=0.1\):
   \(a=\sqrt{\frac{160}{0.1}}=40\).
4. Тогда с вероятностью не менее 0.9 число деталей находится в пределах:
   \(M(X)-a<X<M(X)+a\),
   \(800-40<X<800+40\).

Так как число деталей является целым, получаем: \(761\le X\le839\). В приближённой записи интервал — от 760 до 840 деталей.

Ответ: с вероятностью не менее 0.9 число деталей отличного качества будет находиться в пределах от 761 до 839 штук.