Задача 2. В ромбе сторона равна 3√3, а острый угол равен 60°. Найдите его большую диагональ.

Краткая запись: сторона ромба \(a=3\sqrt3\), острый угол \(60^\circ\). Найти большую диагональ.

Решение.

1. Пусть диагональ, соединяющая вершины острых углов, равна \(d\). В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и этой диагональю, угол между сторонами равен \(60^\circ\).
2. По теореме косинусов: \(d^2=a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ=a^2\), поэтому \(d=a\).
3. Для другой диагонали угол между сторонами равен \(120^\circ\): её квадрат равен \(a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ=3a^2\), значит, она длиннее первой. Следовательно, большая диагональ равна \(a\sqrt3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=9\).

Ответ: 9.