Задача 2. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 12 см, BC = 16 см. Через вершину C проведена прямая CK, перпендикулярная плоскости треугольника ABC, причём CK = 24 см. Найдите KM, если CM — медиана треугольника ABC. Найдите KM, если CM — высота треугольника ABC. Найдите KM, если CM — биссектриса.

Во всех случаях CK перпендикулярна плоскости ABC, а CM лежит в этой плоскости. Поэтому треугольник KCM прямоугольный при C, и \(KM^2=CK^2+CM^2\).

Сначала найдём гипотенузу ABC: \(AB=\sqrt{12^2+16^2}=20\) см.

Если CM — медиана: медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине, поэтому \(CM=10\) см. Тогда \(KM=\sqrt{24^2+10^2}=26\) см.

Если CM — высота: высота к гипотенузе равна \(CM=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12\cdot16}{20}=9{,}6\) см. Тогда \(KM=\sqrt{24^2+9{,}6^2}=\frac{8\sqrt{261}}{5}\) см.

Если CM — биссектриса: длина биссектрисы прямого угла равна \(CM=\frac{12\cdot16\cdot\sqrt{2}}{12+16}=\frac{48\sqrt{2}}{7}\) см. Тогда \(KM=\sqrt{24^2+\left(\frac{48\sqrt{2}}{7}\right)^2}=\frac{24\sqrt{57}}{7}\) см.

Ответ: медиана — 26 см; высота — \(\frac{8\sqrt{261}}{5}\) см; биссектриса — \(\frac{24\sqrt{57}}{7}\) см.