Задача 2. В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол BAC.

Пусть M — середина BC, а \(AB=a\). По условию \(AM=\frac{a}{4}\), и угол между AM и AB равен \(60^\circ\).

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\). Тогда, выбирая сторону расположения C без ограничения общности, \(M=(\frac{a}{8},\frac{\sqrt{3}a}{8})\), поскольку длина AM равна \(\frac a4\), а угол AM с AB равен \(60^\circ\).

Так как M — середина BC, координаты C находятся из равенства \(C=2M-B\):

\(C=(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4})-(a,0)=(-\frac{3a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4}).\)

Вектор AB направлен вдоль положительной оси x, а вектор AC имеет координаты \((-\frac{3a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4})\). Поэтому угол BAC лежит во II четверти, и

\(\tan\angle BAC=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{4}}{\frac{3a}{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Острый угол с таким тангенсом равен \(30^\circ\), значит угол во II четверти равен \(180^\circ-30^\circ=150^\circ\).

Ответ: \(150^\circ\).