Задача 2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что 2BM = AB; ∠ABM = 64°. Найдите угол между медианой BM и стороной BC.

Обозначим искомый угол через \(x = \angle MBC\). Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC.

Из условия \(AB = 2BM\). Рассмотрим треугольник ABM и применим теорему косинусов к стороне AM:

\(AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos 64^\circ = 5BM^2 - 4BM^2\cos 64^\circ.\)

В треугольнике BMC угол BMC равен \(180^\circ - 64^\circ = 116^\circ\), поскольку A, M и C лежат на одной прямой. По теореме косинусов:

\(BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2 \cdot BM \cdot MC \cdot \cos 116^\circ.\)

Поскольку MC = AM, подстановка выражения для AM даёт \(BC^2 = 4BM^2\). Следовательно, BC = 2BM = AB. Значит, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC, а BM, проведённая к основанию AC, является биссектрисой угла B.

Поэтому \(\angle MBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ\), поскольку \(\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC\). Получается \(x = 64^\circ - x\), откуда \(x = 32^\circ\).

Ответ: 32°.