Задача 2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Оказалось, что длина этой медианы в два раза меньше стороны BC (BM = 1/2 BC). Найдите угол ABM, если весь угол ABC = 110°.

Продлим медиану BM за точку M до точки D так, чтобы MD = BM. Поскольку M — середина AC и BD, диагонали четырёхугольника ABDC делятся пополам, следовательно, ABDC — параллелограмм.

Из условия BM = BC/2, а по построению BD = 2BM. Поэтому BD = BC.

В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, значит, ∠BCD = 180° − ∠ABC = 70°. В треугольнике BCD стороны BC и BD равны, поэтому углы при основании CD равны: ∠BDC = ∠BCD = 70°. Тогда ∠CBD = 180° − 70° − 70° = 40°.

Так как лучи BM и BD совпадают, ∠ABM = ∠ABD. Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC, поэтому ∠ABM = 110° − 40° = 70°.

Ответ: 70°.