Задача 2. Волшебные цифры. Петя заметил интересную закономерность: если взять любую цифру от 1 до 9, повторить её три раза (например, 555), а затем разделить полученное число на сумму этих цифр (5+5+5=15), то результат всегда будет равен 37. Проверьте это утверждение для цифры 7. Затем объясните, почему это работает для любой цифры.

Проверяем для цифры 7:

1. Берем цифру 7 и повторяем её три раза: получаем число 777.

2. Находим сумму цифр: $$7 + 7 + 7 = 21$$.

3. Делим полученное число на сумму цифр: $$\frac{777}{21}$$.

Произведем деление:

Результат действительно равен 37. Утверждение для цифры 7 верно.

Объяснение для любой цифры:

Пусть выбранная цифра будет x. Цифра x может быть от 1 до 9.

1. Повторив цифру x три раза, мы получаем число, которое можно записать как:

\[ 100 \times x + 10 \times x + 1 \times x \]

Это можно упростить, вынеся x за скобки:

\[ x \times (100 + 10 + 1) = x \times 111 \]

2. Сумма этой цифры, повторенной три раза, будет:

\[ x + x + x = 3 \times x \]

3. Теперь разделим число, полученное в первом шаге, на сумму цифр, полученную во втором шаге:

\[ \frac{x \times 111}{3 \times x} \]

Мы видим, что цифра x есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить её (так как x не равно нулю).

\[ \frac{111}{3} \]

Теперь выполним деление 111 на 3:

\[ 111 \text{ :} 3 = 37 \]

Таким образом, результат деления всегда будет равен 37, независимо от того, какая цифра (от 1 до 9) была выбрана изначально, потому что эта цифра сокращается в процессе вычислений.

Ответ: 37.