Задача 2. Заряд конденсатора q = 3 ⋅ 10⁻⁸ Кл. Ёмкость конденсатора C = 10 пФ. Определите скорость, которую приобретает электрон, пролетая в конденсаторе путь от одной пластины к другой. Начальная скорость электрона равна нулю. Удельный заряд электрона e/m = 1,76 ⋅ 10¹¹ Кл/кг.

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобится формула для кинетической энергии, которая равна работе, совершённой полем, а также формула для работы электрического поля.

1. Найдем потенциал конденсатора:
• Формула: U = q / C
• Подставим значения: U = 3 ⋅ 10⁻⁸ Кл / 10 пФ
• Переведём пикофарады в фарады: 10 пФ = 10 ⋅ 10⁻¹² Ф
• U = 3 ⋅ 10⁻⁸ Кл / (10 ⋅ 10⁻¹² Ф) = 300 000 В
2. Найдем работу, совершённую полем над электроном:
• Формула: A = e ⋅ U, где e — заряд электрона.
• Мы знаем удельный заряд электрона e/m. Для расчёта работы нам нужен заряд электрона. Заряд электрона равен -1.602 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл. Однако, так как электрон движется под действием поля, мы будем использовать абсолютное значение заряда, так как нас интересует величина скорости.
• A = |e| ⋅ U = (1.602 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл) ⋅ (300 000 В) = 4.806 ⋅ 10⁻¹⁴ Дж
3. Приравняем работу к кинетической энергии:
• Формула кинетической энергии: Ek = 1/2 ⋅ m ⋅ v²
• Формула работы: A = Ek
• 1/2 ⋅ m ⋅ v² = A
• Найдём v²: v² = 2 ⋅ A / m
• Выразим v² через удельный заряд: v² = 2 ⋅ A / m = 2 ⋅ (|e| ⋅ U) / m = 2 ⋅ U ⋅ (e/m)
• Подставим значения: v² = 2 ⋅ 300 000 В ⋅ (1.76 ⋅ 10¹¹ Кл/кг)
• v² = 600 000 ⋅ 1.76 ⋅ 10¹¹ = 1 056 000 ⋅ 10¹¹ = 1.056 ⋅ 10¹⁷ м²/с²
4. Найдем скорость (v):
• v = sqrt(v²) = sqrt(1.056 ⋅ 10¹⁷)
• v ≈ 3.249 ⋅ 10⁸ м/с

Ответ: 3.25 ⋅ 10⁸ м/с