Задача 20.3: На доске написано число 60. За один ход разрешается уменьшить число на любой из его целых положительных делителей (в том числе на единицу или на само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл.

Определим проигрышные позиции, начиная с 0 (проигрышная).

1. 0 - проигрышная.
2. 1 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 1).
3. 2 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 2).
4. 3 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 3).
5. 4 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 4).
6. 5 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 5).
7. 6 - выигрышная (можно перейти в 0, вычитая 6).

Рассмотрим число 60. Делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Если игрок может перейти в 0, то текущая позиция выигрышная. Все числа от 1 до 60 имеют делитель, равный самому себе. Вычитая это число, мы получаем 0.

Следовательно, любая позиция от 1 до 60 является выигрышной, так как игрок может вычесть само число и перейти в 0, заставив противника проиграть.

Таким образом, первый игрок, начиная с 60, выигрывает.