Задача №20 Решите самостоятельно Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Привет! Давай вместе разберемся с этой задачей.

Что такое площадь поверхности многогранника?

Это сумма площадей всех его граней. В нашем случае, многогранник состоит из кубиков, поэтому нам нужно найти площадь всех видимых сторон этих кубиков.

Разберем рисунок:

У нас есть три кубика, соединенных определенным образом. Давайте посчитаем площадь каждой грани:

• Видимые грани:
• Передняя часть: 3 грани (по одной у каждого кубика)
• Верхняя часть: 3 грани (по одной у каждого кубика)
• Боковые части: 3 грани (по одной у каждого кубика)
• Скрытые грани:
• Задняя часть: 3 грани
• Нижняя часть: 3 грани
• Левая боковая часть: 3 грани

Важно! На рисунке мы видим только часть кубиков. Важно посчитать все грани, которые составляют поверхность фигуры.

Расчет площади:

Из рисунка мы видим размеры некоторых сторон:

• Длина = 7
• Ширина = 5
• Высота = 2
• Высота среднего кубика = 3
• Высота переднего кубика = 5

Площадь одной грани кубика:

• Площадь основания (нижняя грань): 7 * 5 = 35
• Площадь боковой грани (передней/задней): 7 * 2 = 14
• Площадь боковой грани (левой/правой): 5 * 2 = 10

Площадь поверхности всей фигуры:

Мы можем посчитать площадь каждой видимой грани:

• Передняя часть: 3 грани по 7 * 5 = 3 * 35 = 105
• Верхняя часть: 3 грани по 7 * 5 = 3 * 35 = 105
• Боковая часть (справа): 3 грани по 5 * 2 = 3 * 10 = 30
• Боковая часть (спереди): 2 грани по 7 * 2 = 2 * 14 = 28
• Боковая часть (сзади): 2 грани по 5 * 2 = 2 * 10 = 20

Суммируем все видимые грани: 105 + 105 + 30 + 28 + 20 = 288

Другой способ расчета:

Представим, что это один большой куб с вырезанными частями. Или посчитаем площадь каждой грани по отдельности:

• Нижняя плоскость: 3 грани по 7 * 5 = 3 * 35 = 105
• Верхняя плоскость: 3 грани по 7 * 5 = 3 * 35 = 105
• Передняя плоскость: 3 грани по 7 * 2 = 3 * 14 = 42
• Задняя плоскость: 3 грани по 5 * 2 = 3 * 10 = 30
• Левая плоскость: 3 грани по 5 * 2 = 3 * 10 = 30
• Правая плоскость: 2 грани по 5 * 2 = 2 * 10 = 20

Складываем все: 105 + 105 + 42 + 30 + 30 + 20 = 332

Проверка:

Давай посчитаем площадь каждой грани, учитывая размеры:

• Нижняя поверхность: 3 квадрата со стороной 5. Площадь: 3 * (5*5) = 75.
• Верхняя поверхность: 3 квадрата со стороной 5. Площадь: 3 * (5*5) = 75.
• Передняя поверхность: 3 квадрата со стороной 5. Площадь: 3 * (5*5) = 75.
• Задняя поверхность: 3 квадрата со стороной 5. Площадь: 3 * (5*5) = 75.
• Левая боковая поверхность: 3 квадрата со стороной 5. Площадь: 3 * (5*5) = 75.
• Правая боковая поверхность: 2 квадрата со стороной 5. Площадь: 2 * (5*5) = 50.

Суммируем: 75 + 75 + 75 + 75 + 75 + 50 = 425

НО! Это если бы были отдельные кубики. Нам нужно считать стороны, которые видны.

Попробуем так:

Представим, что это составная фигура:

• Нижний слой: 2 кубика 5х5х5 и 1 кубик 5х7х5.
• Верхний слой: 1 кубик 5х5х2 и 2 кубика 5х7х2.

Площадь каждой грани:

• Верхние грани: 3 грани 7х5 = 105
• Нижние грани: 3 грани 7х5 = 105
• Передние грани: 3 грани 7х2 (или 7х5) = 105
• Задние грани: 3 грани 5х2 (или 5х5) = 75
• Боковые грани (слева): 3 грани 5х2 (или 5х5) = 75
• Боковые грани (справа): 2 грани 5х2 (или 5х5) = 50

Итого: 105 + 105 + 105 + 75 + 75 + 50 = 515

Давай посчитаем по-другому:

• Площадь всех граней, если бы кубики были по отдельности: 6 граней * 3 кубика = 18 граней.
• Площадь одной грани: 7 * 5 = 35 (у основания)
• Площадь одной грани: 7 * 2 = 14 (у боковых)
• Площадь одной грани: 5 * 2 = 10 (у боковых)

Считаем видимые части:

• Передние: 3 грани 7х5 = 105
• Верхние: 3 грани 7х5 = 105
• Боковые: 3 грани 5х2 = 30
• Добавляем видимые боковые грани: 2 грани 7х2 = 28
• Добавляем видимые задние грани: 2 грани 5х2 = 20

Суммируем: 105 + 105 + 30 + 28 + 20 = 288

А теперь посчитаем невидимые грани, которые являются стыками:

• Между первым и вторым кубиком (спереди): 2 грани 5х2 = 20
• Между вторым и третьим кубиком (спереди): 2 грани 5х2 = 20
• Между нижним и верхним слоем: 3 грани 7х5 = 105

Полная площадь:

• Видимая часть: 288
• Невидимые стыки: 20 + 20 + 105 = 145
• Итого: 288 + 145 = 433

Давай еще раз, проще!

Представь, что мы раскладываем фигуру на плоские поверхности:

• Нижняя часть: 3 квадрата 7х5 = 105
• Верхняя часть: 3 квадрата 7х5 = 105
• Передняя часть: 3 квадрата 7х2 = 42
• Задняя часть: 3 квадрата 5х2 = 30
• Левая боковая часть: 3 квадрата 5х2 = 30
• Правая боковая часть: 2 квадрата 5х2 = 20

Сумма: 105 + 105 + 42 + 30 + 30 + 20 = 332

Ответ: 332