Задача 23.9. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Сначала найдем второй катет, затем гипотенузу, а после вычислим высоту, проведённую к гипотенузе.

1. Найдем второй катет (BC):
   Пусть AC = 24 (катет), AB = 51 (гипотенуза).
   По теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \)
   \[ BC^2 = 51^2 - 24^2 = 2601 - 576 = 2025 \]
   \[ BC = \sqrt{2025} = 45 \]
2. Вычислим площадь треугольника двумя способами:
   
   • Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 45 = 12 \cdot 45 = 540 \]
   • Через гипотенузу (AB) и высоту (h): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 51 \cdot h = \frac{51}{2} h \]
3. Приравняем площади и найдем высоту h:
   \[ \frac{51}{2} h = 540 \]
   \[ h = \frac{540 \cdot 2}{51} = \frac{1080}{51} = \frac{360}{17} \]

Ответ: 360/17