Задача 2 Найдите точку минимума функции у = 4x - ln(x + 11) + 12.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( y = 4x - \ln(x + 11) + 12 \), необходимо найти первую производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции: \( y' = (4x - \ln(x + 11) + 12)' \)
2. \( y' = 4 - \frac{1}{x + 11} \)
3. Приравняем производную к нулю: \( 4 - \frac{1}{x + 11} = 0 \)
4. Решим уравнение: \( 4 = \frac{1}{x + 11} \)
5. \( 4(x + 11) = 1 \)
6. \( 4x + 44 = 1 \)
7. \( 4x = 1 - 44 \)
8. \( 4x = -43 \)
9. \( x = -\frac{43}{4} \)
10. Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную: \( y'' = (4 - (x + 11)^{-1})' = 0 - (-1)(x + 11)^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{(x + 11)^2} \)
11. При \( x = -\frac{43}{4} \), \( x + 11 = -\frac{43}{4} + \frac{44}{4} = \frac{1}{4} \).
12. \( y'' = \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16 \).
13. Так как \( y'' > 0 \), то в точке \( x = -\frac{43}{4} \) находится точка минимума.

Ответ: x = -43/4.