Задача 3.8. Из некоторого числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа также вычли сумму цифр (новую). После 11 таких вычитаний впервые получился 0. Какое число было первым?

Решение:

Заметим, что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки. Это означает, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. То есть, каждая такая операция вычитания суммы цифр уменьшает число на величину, кратную 9.

Пусть исходное число равно N. После 11 вычитаний сумма цифр мы получили 0. Это значит, что исходное число N должно быть таким, чтобы после 11 вычитаний, кратных 9, оно стало 0.

Рассмотрим свойство: \( N \equiv \text{сумма цифр} \pmod{9} \). Следовательно, \( N - \text{сумма цифр} \equiv 0 \pmod{9} \).

Таким образом, каждая операция уменьшает число на число, кратное 9.

Пусть \( x_0 = N \) - начальное число. Тогда \( x_{k+1} = x_k - \text{сумма цифр}(x_k) \).

Мы знаем, что \( x_{11} = 0 \) и \( x_{k+1} - x_k = -\text{сумма цифр}(x_k) \).

Так как \( x_{k+1} \equiv x_k \pmod{9} \), то \( x_{11} = 0 \implies x_0 = N = 0 : 9 \pmod{9} \). То есть, \( N \) делится на 9.

Проанализируем максимальное уменьшение числа на каждом шаге. Для числа в m цифр, максимальная сумма цифр равна \( 9m \). Если число равно \( 10^m - 1 \) (например, 999), то сумма цифр равна \( 9m \). Если число равно \( 10^m \) (например, 1000), то сумма цифр равна 1.

Если бы каждое вычитание уменьшало число на максимальное возможное значение, то мы могли бы оценить, насколько велико могло быть начальное число.

Рассмотрим пример: число 99. Сумма цифр = 18. 99 - 18 = 81. Сумма цифр 81 = 9. 81 - 9 = 72. Сумма цифр 72 = 9. 72 - 9 = 63. Сумма цифр 63 = 9. 63 - 9 = 54. Сумма цифр 54 = 9. 54 - 9 = 45. Сумма цифр 45 = 9. 45 - 9 = 36. Сумма цифр 36 = 9. 36 - 9 = 27. Сумма цифр 27 = 9. 27 - 9 = 18. Сумма цифр 18 = 9. 18 - 9 = 9. Сумма цифр 9 = 9. 9 - 9 = 0. В данном случае потребовалось 11 вычитаний.

Число 99 подходит под условие. Проверим, могли ли быть большие числа.

Пусть исходное число было в районе 100. Например, 108. Сумма цифр 1+0+8=9. 108-9=99. Дальше 11 вычитаний.

Если число было 108, то после первого вычитания (108 - 9 = 99) потребовалось бы еще 11 вычитаний. Всего 12 вычитаний.

Если число было 99, то потребовалось ровно 11 вычитаний.

Рассмотрим число 198. Сумма цифр 1+9+8=18. 198-18 = 180. Сумма цифр 1+8+0=9. 180-9=171. Сумма цифр 1+7+1=9. 171-9=162. ...

Если число делится на 9, и после 11 шагов оно стало 0, то это означает, что сумма всех вычтенных чисел (которые кратны 9) равна исходному числу. Каждое вычитание уменьшает число на величину, кратную 9.

Максимальная сумма цифр для числа меньше 1000: 9+9+9=27. Если число около 1000, например 999, сумма цифр 27. 999-27 = 972. Сумма цифр 972 = 18. 972-18 = 954. ...

Если после 11 вычитаний получилось 0, это значит, что число было кратно 9, и разность между ним и суммой цифр на каждом шаге была кратна 9.

Пусть \( N \) - исходное число. \( N \pmod{9} = S(N) ; \pmod{9} \). \( N - S(N) = 9k \) для некоторого \( k \).

Если \( x_{11} = 0 \), то \( x_0 \) должно быть равно сумме всех вычтенных чисел. Каждое вычитаемое число \( S(x_k) \) уменьшается. На последнем шаге, когда число близко к 0, сумма цифр тоже мала.

Для числа 99: \( 99 → 81 → 72 → 63 → 54 → 45 → 36 → 27 → 18 → 9 → 0 \). Это 11 шагов.

Если бы было число 108, то \( 108 → 99 \). Дальше 11 шагов. Всего 12 шагов.

Если число было 189, то \( 189 → 189 - (1+8+9) = 189 - 18 = 171 \). \( 171 → 171 - (1+7+1) = 171 - 9 = 162 \). \( 162 → 162 - (1+6+2) = 162 - 9 = 153 \) ...

Наибольшее возможное число, которое после 11 вычитаний даст 0, будет иметь наибольшее количество цифр. Если число имеет 3 цифры, например, 999, сумма цифр 27. 999 - 27 = 972. 972 - 18 = 954. ...

При каждом вычитании число уменьшается. Максимальное уменьшение для числа до 1000: 999 - (9+9+9) = 999 - 27 = 972. Для числа 999, разность 999-27 = 972. \( 972 = 9 : 108 \). \( 972 → 972 - (9+7+2=18) = 954 \). \( 954 → 954 - (9+5+4=18) = 936 \). \( 936 → 936 - (9+3+6=18) = 918 \). \( 918 → 918 - (9+1+8=18) = 900 \).

Рассмотрим число, которое после 11 шагов стало 0. Это значит, что \( x_0 \) было больше \( x_{11} = 0 \) на величину, кратную 9, на каждом шаге. \( x_0 = S(x_0) + S(x_1) + … + S(x_{10}) + x_{11} \). \( x_0 = S(x_0) + S(x_1) + … + S(x_{10}) \).

Мы знаем, что \( x ≡ S(x) ; \pmod{9} \). Значит \( x_0 = 0 : 9 \pmod{9} \).

Если число было 99, то \( 99 \to 81 \to 72 \to 63 \to 54 \to 45 \to 36 \to 27 \to 18 \to 9 \to 0 \). Это ровно 11 шагов.

Если бы число было больше, например 108. \( 108 \to 99 \). От 99 до 0 - 11 шагов. Итого 12 шагов. Значит 108 не подходит.

Если бы число было 189. \( 189 → 171 → 162 → 153 → 144 → 135 → 126 → 117 → 108 → 99 \). Это 10 шагов до 99. От 99 до 0 - 11 шагов. Итого 21 шаг.

Таким образом, единственное число, которое при 11 вычитаниях суммы цифр дает 0, это 99.

Ответ: 99