Задача № 3. Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр четырёхугольника ACMN, если диагональ BD равна 8 см.

Пусть стороны прямоугольника равны AB = w и BC = h. Введём координаты: A(0, 0), B(w, 0), C(w, h), D(0, h).

1. Так как CM параллельна BD, её направляющий вектор пропорционален (w, −h). При движении от C до прямой AB координата y уменьшается на h, поэтому координата x увеличивается на w: M(2w, 0). Следовательно, AM = 2w.
2. Так как MN параллельна AC, направляющий вектор равен (w, h). Прямая через M пересекает BC при x = w, то есть после сдвига на −w по горизонтали и на −h по вертикали: N(w, −h). Поэтому CN = 2h.
3. По теореме Пифагора AC = BD = 8 см. Кроме того, CM = 2BD и MN = AC, поскольку соответствующие горизонтальные и вертикальные приращения у этих отрезков вдвое больше приращений диагоналей.
4. Периметр четырёхугольника ACMN: P = AC + CM + MN + NA. Здесь AC = MN = 8 см, CM = 16 см. Отрезок NA равен длине диагонали прямоугольника, то есть NA = 8 см.

Тогда P = 8 + 16 + 8 + 8 = 40 см.

Ответ: 40 см.