Задача 3. Дано: ABCD — прямоугольник, BD = 12 см, AB = 6 см. Найти ∠COD.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому OC = OD = 6 см. Также ∠COD = ∠AOB как вертикальные углы.

Пусть BC = AD = x. По теореме Пифагора для прямоугольника: BD² = AB² + AD², откуда x² = 12² − 6² = 108.

Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как OB = OC = 6, а BC = √108 = 6√3. По теореме косинусов:

cos ∠BOC = (OB² + OC² − BC²) / (2 · OB · OC) = (36 + 36 − 108) / 72 = −1/2.

Значит, ∠BOC = 120°. Углы BOC и COD смежные, поэтому ∠COD = 180° − 120° = 60°.

Ответ: ∠COD = 60°.