Задача 3. Докажите, что в равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана BM, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Так как BM — медиана к основанию AC, точка M — середина AC, поэтому AM = MC.

Рассмотрим треугольники ABM и CBM. Имеем AB = BC (по условию), AM = MC (так как BM — медиана), а BM — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников получаем ∠AMB = ∠BMC. Эти углы смежные, поскольку A, M и C лежат на одной прямой; значит, каждый из них равен 90°. Поэтому BM ⟂ AC, то есть BM — высота.

Также из равенства треугольников следует ∠ABM = ∠MBC. Следовательно, BM делит угол ABC пополам и является биссектрисой.

Что и требовалось доказать.