Задача 3 (Движение с остановкой). Пешеход должен был пройти расстояние в 20 км с постоянной скоростью. Пройдя первую половину пути, он сделал остановку на 15 минут. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью пешеход шел изначально?

Решение:

Пусть \( v \) — первоначальная скорость пешехода (в км/ч), а \( t \) — время, которое он должен был затратить на весь путь (в часах).

Общее расстояние \( S = 20 \) км.

Первая половина пути: \( S_1 = \frac{20}{2} = 10 \) км.

Время на первую половину пути при первоначальной скорости: \( t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{10}{v} \) часа.

Пешеход сделал остановку на 15 минут, что составляет \( \frac{15}{60} = 0.25 \) часа.

Оставшееся расстояние: \( S_2 = 10 \) км.

Новая скорость на второй половине пути: \( v' = v + 1 \) км/ч.

Время на вторую половину пути с увеличенной скоростью: \( t_2 = \frac{S_2}{v'} = \frac{10}{v+1} \) часа.

Общее время в пути с учетом остановки: \( T = t_1 + 0.25 + t_2 \).

Чтобы прийти вовремя, общее время должно быть равно первоначально запланированному времени \( t \).

\( t = \frac{10}{v} + 0.25 + \frac{10}{v+1} \).

Также, первоначально запланированное время \( t \) должно быть равно времени, которое потребовалось бы, если бы он шел весь путь с постоянной скоростью \( v \): \( t = \frac{20}{v} \).

Приравниваем два выражения для \( t \):

\[ \frac{20}{v} = \frac{10}{v} + 0.25 + \frac{10}{v+1} \]

Вычитаем \( \frac{10}{v} \) из обеих частей:

\[ \frac{10}{v} = 0.25 + \frac{10}{v+1} \]

Переносим \( \frac{10}{v+1} \) в левую часть:

\[ \frac{10}{v} - \frac{10}{v+1} = 0.25 \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{10(v+1) - 10v}{v(v+1)} = 0.25 \]

\[ \frac{10v + 10 - 10v}{v^2 + v} = 0.25 \]

\[ \frac{10}{v^2 + v} = 0.25 \]

Умножаем обе части на \( v^2 + v \):

\[ 10 = 0.25(v^2 + v) \]

Делим обе части на 0.25 (что равно умножению на 4):

\[ 40 = v^2 + v \]

Переносим 40 в правую часть, получаем квадратное уравнение:

\[ v^2 + v - 40 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-40) = 1 + 160 = 161 \]

\( v = \frac{-1 \pm \sqrt{161}}{2} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень.

\( v = \frac{-1 + \sqrt{161}}{2} \) км/ч.

\( \sqrt{161} \approx 12.69 \)

\( v \approx \frac{-1 + 12.69}{2} \approx \frac{11.69}{2} \approx 5.845 \) км/ч.

Проверка:

Первоначальное время: \( t = \frac{20}{5.845} \approx 3.42 \) часа.

Время на первую половину (5.845 км/ч): \( \frac{10}{5.845} \approx 1.71 \) часа.

Время на вторую половину (5.845+1 = 6.845 км/ч): \( \frac{10}{6.845} \approx 1.46 \) часа.

Общее время: \( 1.71 + 0.25 + 1.46 \approx 3.42 \) часа. Это совпадает.

Ответ: Скорость пешехода изначально была \( \frac{-1 + \sqrt{161}}{2} \) км/ч (приблизительно 5.85 км/ч).