Задача 3. Из города А в город Б, расстояние между которыми составляет 108 километров, выехал велосипедист Артём. Одновременно навстречу ему из города Б выехал велосипедист Витя. Велосипедисты встретились через 3 часа после выезда. Найдите скорость каждого из велосипедистов, если за 4 часа Артём проезжает на 9 километров больше, чем Витя за 5 часов.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть $$V_A$$ — скорость Артёма (км/ч).
   • Пусть $$V_B$$ — скорость Вити (км/ч).
2. Условие встречи:
   • Расстояние, которое проехали велосипедисты вместе до встречи, равно общему расстоянию между городами: $$S_A + S_B = 108$$ км.
   • Поскольку они выехали одновременно и встретились через 3 часа:
     • $$S_A = V_A × 3$$
     • $$S_B = V_B × 3$$
   • Подставляем в уравнение расстояния: $$3V_A + 3V_B = 108$$.
   • Разделим на 3: $$V_A + V_B = 36$$.
3. Условие о разнице в расстоянии:
   • За 4 часа Артём проезжает: $$S_{A4} = V_A × 4$$.
   • За 5 часов Витя проезжает: $$S_{B5} = V_B × 5$$.
   • По условию: $$S_{A4} = S_{B5} + 9$$.
   • Подставляем: $$4V_A = 5V_B + 9$$.
4. Решаем систему уравнений:
   • У нас есть система:
     • 1) $$V_A + V_B = 36$$
     • 2) $$4V_A = 5V_B + 9$$
   • Выразим $$V_A$$ из первого уравнения: $$V_A = 36 - V_B$$.
   • Подставим во второе уравнение: $$4(36 - V_B) = 5V_B + 9$$.
   • Раскроем скобки: $$144 - 4V_B = 5V_B + 9$$.
   • Перенесем члены с $$V_B$$ в одну сторону, а числа — в другую: $$144 - 9 = 5V_B + 4V_B$$.
   • $$135 = 9V_B$$.
   • Найдем $$V_B$$: $$V_B = 135 / 9 = 15$$ км/ч.
   • Теперь найдем $$V_A$$, используя $$V_A = 36 - V_B$$: $$V_A = 36 - 15 = 21$$ км/ч.

Проверка:

• Скорость Артёма: 21 км/ч. Скорость Вити: 15 км/ч.
• Встретились через 3 часа: $$21 × 3 + 15 × 3 = 63 + 45 = 108$$ км (верно).
• За 4 часа Артём проезжает: $$21 × 4 = 84$$ км.
• За 5 часов Витя проезжает: $$15 × 5 = 75$$ км.
• Разница: $$84 - 75 = 9$$ км (верно).

Ответ: Скорость Артёма 21 км/ч, скорость Вити 15 км/ч.