Задача 3. Какие значения может принимать: а) наибольший угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника? Ответ в пункте в) обоснуйте.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а каждый угол больше \(0^\circ\).

а) Наибольший угол. Он не меньше среднего арифметического трёх углов, поэтому не меньше \(60^\circ\). Он меньше \(180^\circ\), поскольку два остальных угла положительны.

Любое значение \(x\in[60^\circ;180^\circ)\) возможно: при \(x=60^\circ\) подойдёт треугольник с углами \(60^\circ,60^\circ,60^\circ\); при \(x>60^\circ\) — с углами \(x,\frac{180^\circ-x}{2},\frac{180^\circ-x}{2}\).

б) Наименьший угол. Он больше \(0^\circ\) и не больше среднего арифметического углов, то есть не больше \(60^\circ\). Любое значение \(x\in(0^\circ;60^\circ]\) возможно: углы \(x,\frac{180^\circ-x}{2},\frac{180^\circ-x}{2}\) образуют такой треугольник.

в) Средний по величине угол. Обозначим углы в порядке возрастания \(a\le b\le c\). Тогда \(b>0^\circ\). Кроме того, \(c\ge b\), поэтому \(180^\circ=a+b+c\ge a+2b>2b\), откуда \(b<90^\circ\).

Покажем, что каждое значение из этого промежутка возможно. Если \(0^\circ

Ответ: а) \([60^\circ;180^\circ)\); б) \((0^\circ;60^\circ]\); в) \((0^\circ;90^\circ)\).