Задача 3. Найдите координаты точек пересечения параболы \(y=\frac{2x^2}{13}+1\) и прямой \(y=\frac{x}{39}+1\frac{2}{3}\).

Приравняем выражения для y:

\(\frac{2x^2}{13}+1=\frac{x}{39}+\frac{5}{3}\).

Умножим обе части на 39:

\(6x^2+39=x+65\), поэтому \(6x^2-x-26=0\).

Дискриминант: \(D=(-1)^2-4\cdot6\cdot(-26)=625\). Тогда

\(x=\frac{1\pm25}{12}\), откуда \(x_1=-2\) и \(x_2=\frac{13}{6}\).

Подставим значения в уравнение параболы:

• при \(x=-2\): \(y=\frac{2\cdot(-2)^2}{13}+1=\frac{21}{13}\);
• при \(x=\frac{13}{6}\): \(y=\frac{2\cdot(13/6)^2}{13}+1=\frac{31}{18}\).

Ответ: точки пересечения — \(\left(-2,\frac{21}{13}\right)\) и \(\left(\frac{13}{6},\frac{31}{18}\right)\).