Задача № 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Пусть стороны параллелограмма имеют длины a и b, а угол между ними равен φ. Рассмотрим диагональ, перпендикулярную стороне длины a. По условию её длина равна одной из сторон.

1. Диагональ не может равняться стороне b: из перпендикулярности следует, что её проекция на направление стороны b имеет длину b, поэтому длина диагонали не меньше b, причём равенство возможно только при вырождении параллелограмма.
2. Значит, длина диагонали равна a. Из перпендикулярности диагонали стороне a получаем для угла между векторами сторон: \(\cos φ=-a/b\).
3. По теореме косинусов для диагонали: \(a^2+b^2+2ab\cos φ=a^2\). Подставляем \(\cos φ=-a/b\): \(b^2-2a^2=0\), откуда \(b=\sqrt{2}a\) и \(\cos φ=-1/\sqrt{2}\).
4. Следовательно, один угол равен 135°, а соседний — 45°; противоположные углы равны.

Ответ: 45° и 135°.