Задача № 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.

Пусть диагональ перпендикулярна стороне длины a, а длина другой, неперпендикулярной ей стороны равна b. Обозначим через φ угол между сторонами. Диагональ является суммой или разностью векторов сторон; из её перпендикулярности стороне a следует \(\cos φ=-a/b\).

1. По условию длина диагонали равна \(b/2\).
2. Квадрат длины диагонали, с учётом \(\cos φ=-a/b\), равен \(b^2-a^2\). Поэтому \(b^2-a^2=b^2/4\), откуда \(a^2=3b^2/4\).
3. Тогда \(\cos φ=-a/b=-\sqrt{3}/2\). Значит, внутренний угол между сторонами равен 150°, а соседний с ним — 30°.

Ответ: 30° и 150°.