Задача 3. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найти расстояние от концов отрезка AD до прямой BC.

Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(A\) на \(BC\). Так как \(AB=AC\), высота равнобедренного треугольника делит основание пополам: \(BH=HC=3\) см.

1. В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{25-9}=4\) см. Значит, расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\) равно 4 см.

2. Поскольку \(AD\perp(ABC)\), отрезок \(AD\) перпендикулярен и \(AH\). Следовательно, треугольник \(ADH\) прямоугольный, и расстояние от \(D\) до \(BC\) равно \(DH\): \(DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}\) см.

Ответ: от точки A — 4 см; от точки D — \(4\sqrt{10}\) см.