Задача 3. Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников. Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?

Обозначим ширины семи вертикальных полос через a₁, …, a₇, а высоты семи горизонтальных полос — через b₁, …, b₇. Периметр каждой маленькой части равен 2(a_i + b_j).

Контрпример: пусть ширина каждой из семи вертикальных полос равна 1/14 м, а высота каждой из семи горизонтальных полос — 3/7 м. Тогда периметр каждой маленькой части равен 2(1/14 + 3/7) = 1 м — целое число.

Однако стороны исходного прямоугольника равны 7/14 = 1/2 м и 21/7 = 3 м. Его периметр равен 2(1/2 + 3) = 7 м.

Ответ: да, в этом примере периметр исходного прямоугольника целый.