Задача 3. Скорость растворения лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Известно, что по истечении 1 ч в организме осталось 31,4 г лекарственного вещества, а по истечении 3 ч — 9,7 г. Определить: сколько лекарственного вещества было введено в организм? Через сколько времени после введения в организм останется 1% первоначального количества?

Пусть \(Q(t)\) — количество вещества через \(t\) часов, а \(Q_0\) — первоначальное количество. Так как скорость уменьшения пропорциональна наличному количеству, модель имеет вид \(Q(t)=Q_0e^{-kt}\), где \(k>0\).

1. Используем данные для первого и третьего часов: \(Q(1)=31.4\), \(Q(3)=9.7\). Деление этих равенств устраняет \(Q_0\): \(\frac{Q(1)}{Q(3)}=e^{2k}=\frac{31.4}{9.7}\).

2. Отсюда \(k=\frac12\ln\left(\frac{31.4}{9.7}\right)\approx0.587\) ч⁻¹.

3. Первоначальное количество: \(Q_0=Q(1)e^k=31.4\sqrt{\frac{31.4}{9.7}}\approx56.5\) г.

4. Когда останется 1% первоначального количества, \(Q(t)=0.01Q_0\). Поэтому \(e^{-kt}=0.01\), откуда \(t=\frac{\ln100}{k}\approx7.85\) ч.

Ответ: первоначально было примерно 56,5 г; 1% останется примерно через 7,85 ч после введения.