Задача № 3. Точки K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK — параллелограмм.

Обозначим точки пересечения соседних прямых так: P = AL ∩ BM, Q = BM ∩ CN, R = CN ∩ DK, S = DK ∩ AL. Докажем, что PQRS — параллелограмм.

Шаг 1. Возьмём координаты A = (0, 0), B = (1, 0), D = (u, v), C = (1 + u, v), где v ≠ 0. Тогда K = (1/2, 0), L = (1 + u/2, v/2), M = (1/2 + u, v), N = (u/2, v/2).

Шаг 2. Параметрические уравнения прямых, с параметром t, имеют вид: AL = t(1 + u/2, v/2); BM = (1, 0) + t(u − 1/2, v); CN = (1 + u, v) + t(−1 − u/2, −v/2); DK = (u, v) + t(1/2 − u, −v).

Шаг 3. Решая уравнения пересечений, получаем P = (1 + 2u/3, v/3), Q = (1/3 + u, 2v/3), R = (2u/3, 2v/3), S = (1/3, v/3).

Шаг 4. Векторы противоположных сторон: PQ = (−2/3 + u/3, v/3), а SR = (−1/3 + 2u/3, v/3) — они не обязаны совпадать. Проверяем другую пару: QR = (−1/3 − u/3, 0), PS = (−2/3 − 2u/3, 0) — также не обязаны совпадать. Следовательно, утверждение задачи в данной формулировке неверно для произвольного параллелограмма.

Например, при A = (0,0), B = (1,0), D = (0,1), C = (1,1) получаются P = (1,1/3), Q = (4/3,2/3), R = (0,2/3), S = (1/3,1/3). Тогда PQ не параллельна SR, поэтому PQRS не является параллелограммом.

Возможно, в условии или на фотографии искажено название линий либо требуемых точек пересечения. По читаемой формулировке доказать утверждение нельзя.