Задача 3. Угол BAC равен 30°. Из точки B на сторону AC опущен перпендикуляр BE, из точки E на сторону AB опущен перпендикуляр EF, из точки F на сторону AC опущен перпендикуляр FK, из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KM. Найдите площадь треугольника AMK, если площадь треугольника ABE равна 64.

Обозначим \(AB=d\), а \(\angle BAC=\theta=30^\circ\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), сторона \(AB\) лежит на оси \(x\), поэтому \(B=(d,0)\). Направляющий единичный вектор стороны \(AC\) равен \((\cos\theta,\sin\theta)\).

1. Проекция точки \(B\) на \(AC\) — это точка \(E\). Поэтому \(E=(d\cos^2\theta,\ d\sin\theta\cos\theta)\), и \(S_{ABE}=\frac12 d^2\sin\theta\cos\theta=64\).
2. Так как \(EF\perp AB\), получаем \(F=(d\cos^2\theta,0)\). Проекция \(F\) на \(AC\) даёт \(K=(d\cos^4\theta,\ d\cos^3\theta\sin\theta)\).
3. Из \(KM\perp AB\) следует \(M=(d\cos^4\theta,0)\). Значит, \(S_{AMK}=\frac12 d^2\cos^7\theta\sin\theta\).
4. Сравним площади: \(\frac{S_{AMK}}{S_{ABE}}=\cos^6\theta\). Следовательно, \(S_{AMK}=64\cos^6 30^\circ=64\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^6=27\).

Ответ: 27.