Задача №3 В правильном тетраэдре SABC, все рёбра которого равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью основания.

Решение:

В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники. Ребро тетраэдра равно \( a = 1 \).

Основание тетраэдра — равносторонний треугольник ABC.

Угол между прямой SA и плоскостью основания ABC — это угол между прямой SA и её проекцией на плоскость основания. Проекцией точки S на плоскость основания является центр равностороннего треугольника ABC, обозначим его точкой O.

Таким образом, искомый угол — это угол \( \angle SAO \).

Рассмотрим треугольник SAO. Он прямоугольный, так как AO — перпендикуляр к плоскости основания, а значит, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, в том числе и SA.

Нам нужно найти длину отрезков SA и AO.

1. SA — это ребро тетраэдра, значит, \( SA = a = 1 \).
2. AO — это расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра. В равностороннем треугольнике центр является одновременно и медианой, и высотой, и биссектрисой.
3. Найдем длину медианы (высоты) \( AM \) треугольника ABC: \( AM = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
4. Точка O делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. Значит, \( AO = \frac{2}{3} AM \).
5. \( AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Теперь мы можем найти угол \( \angle SAO \) из прямоугольного треугольника SAO:

\( \cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \angle SAO = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)

Приблизительное значение угла: \( \arccos(0.577) \approx 54.74^{\circ} \).

Ответ: \( \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).