Задача 3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10 % телевизоров со скрытым дефектом, второго – 8 % и третьего – 6 %. Приобретённый телевизор оказался без дефектов. Какова вероятность того, что этот телевизор был изготовлен на первом заводе, если в магазин поступило 40 % телевизоров с первого завода, 25 % – со второго и 35 % – с третьего?

Решение:

Обозначим события:

• $$A$$ – телевизор изготовлен на первом заводе.
• $$B$$ – телевизор изготовлен на втором заводе.
• $$C$$ – телевизор изготовлен на третьем заводе.
• $$D$$ – телевизор оказался без дефектов.

По условию задачи известны следующие вероятности:

• $$P(A) = 0.40$$ (40% телевизоров с первого завода)
• $$P(B) = 0.25$$ (25% телевизоров со второго завода)
• $$P(C) = 0.35$$ (35% телевизоров с третьего завода)

Вероятности обнаружения дефектов на каждом заводе:

• $$P(D|A) = 1 - 0.10 = 0.90$$ (вероятность отсутствия дефекта на первом заводе)
• $$P(D|B) = 1 - 0.08 = 0.92$$ (вероятность отсутствия дефекта на втором заводе)
• $$P(D|C) = 1 - 0.06 = 0.94$$ (вероятность отсутствия дефекта на третьем заводе)

Нам нужно найти вероятность того, что телевизор был изготовлен на первом заводе, при условии, что он оказался без дефектов, то есть $$P(A|D)$$.

Воспользуемся формулой Байеса:

\[ P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} \]

Сначала найдём полную вероятность того, что телевизор окажется без дефектов, $$P(D)$$, используя формулу полной вероятности:

\[ P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \]

Подставим известные значения:

\[ P(D) = (0.90 \times 0.40) + (0.92 \times 0.25) + (0.94 \times 0.35) \]\[ P(D) = 0.36 + 0.23 + 0.329 \]\[ P(D) = 0.919 \]

Теперь подставим значение $$P(D)$$ в формулу Байеса:

\[ P(A|D) = \frac{0.90 \times 0.40}{0.919} = \frac{0.36}{0.919} \]\[ P(A|D) \approx 0.3917 \]

Округлим до трёх знаков после запятой, как в ответе.

Ответ: 0,392